Leave $ vert vert vert cdot vert vert vert $ be a norm in $ ell ^ {1} $ with the following properties:

$ 1. $ $ ( ell ^ {1}, vert vert vert cdot vert vert) $ is the Banach space

$ 2. $ for all $ x in ell ^ {1} $: $ vert vert x vert vert _ { infty} leq vert vert vert x vert vert vert $

Show, using the closed graph theorem that $ vert vert vert cdot vert vert vert $ It is equivalent to $ vert vert cdot vert vert_ {1} $.

My idea:

Define $ J: ( ell ^ {1}, vert vert vert cdot vert vert vert) a ( ell ^ {1}, vert vert cdot vert vert_ {1}) , x mapsto x $

I need to show that $ J $ It is a closed operator, as $ ( ell ^ {1}, vert vert vert cdot vert vert) $ Y $ ( ell ^ {1}, vert vert cdot vert vert_ {1}) $ They are already banach.

Then leave $ (x ^ {n}) n subseteq ( ell ^ {1}, vert vert vert cdot vert vert vert) $ where $ x ^ {n} xrightarrow {n a infty} x $ Y $ exists and in ( ell ^ {1}, vert vert cdot vert vert_ {1}) $ so that $ Tx ^ {n} xrightarrow {n to infty} and $. Now, how can I show that? $ Tx = y $

And then, how am I going to show that $ ( ell ^ {1}, vert vert vert cdot vert vert) $ is closed?